1. Классификация линейных интегральных уравнений.
Уравнения Фредгольма и Вольтерра первого и второго рода. Примеры физических задач, приводящих к интегральным уравнениям.
2. Линейные операторы в бесконечномерном евклидовом пространстве.
Вполне непрерывный оператор. Теорема существования собственного значения и собственного вектора у симметричного вполне непрерывного оператора. Построение последовательности собственных значений и собственных векторов.
3. Однородное уравнение Фредгольма второго рода.
Существование собственных значений и собственных функций у интегрального оператора с симметричньм ядром. Вырожденные ядра. Теорема Гильберта-Шмидта.
4. Краевая задача на собственные значения и собственные функции (задача Штурма-Лиувилля).
Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению. Свойства собственных значений и собственных функций задачи Штурма-Лиувилля. Теорема Стеклова.
5. Неоднородное уравнение Фредгольма второго рода. Принцип
сжимающих отображений. Уравнение Фредгольма с "малым λ". Уравнение Фредгольма с
вырожденным и невырожденным ядром. Теоремы Фредгольма.
6. Уравнение Вольтерра. Метод последовательных приближений.
7. Понятие функционала. Первая вариация функционала.
Необходимое условие экстремума.
8. Вариационная задача с закрепленными границами. Основная лемма вариационного исчисления. Уравнение Эйлера.
9. Поле экстремалей, функция Вейерштрасса, достаточные условия экстремума.
10. Задача на условный экстремум. Изопериметрическая задача и задача Лагранжа (постановки задач, необходимое условие экстремума).
11. Задача с подвижной границей, условие трансверсальности, необходимое условие экстремума.
12. Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах. Уравнение Фредгольма первого рода как пример некорректно поставленной задачи. Метод А.Н. Тихонова регуляризации решения уравнения Фредгольма первого рода.
Форма итогового контроля - экзамен.
Литература
Основная
1. Васильева А.Б., Тихонов А.Н. Интегральные уравнения. М.: Физматлит, 2002.
2. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: УРС, 2000.
1. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.
2. Краснов М.П. Интегральные уравнения. Введение в теорию. М.: Наука, 1981.
3. Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. М.: Наука, 1980.
4. Васильева А.Б., Медведев Г.Н., Тихонов Н.А., Уразгильдина
Т.А. Дифференциальные и интегральные уравнения. Вариационное исчисление.
Москва. Физматлит. 2003