(третий
семестр, осень 2003 г.)
1. Понятие поверхности.
Односторонние и двусторонние поверхности.
2. Площадь поверхности.
Поверхностные интегралы первого рода.
3. Поверхностные интегралы
второго рода. Приложения.
4. Формула Остроградского -
Гаусса.
5. Формула Стокса *.
6. Дифференциальные операции в
скалярных и векторных полях. Оператор Гамильтона. Инвариантные определения
дивергенции и ротора.
7. Потенциальные векторные поля.
Теорема о независимости работы потенциального поля от пути интегрирования *.
8. Соленоидальные векторные поля.
9. Дифференциальные операции
векторного анализа в криволинейных ортогональных координатах.
10. Сходимость числового ряда.
Критерий Коши.
11. Признаки сходимости рядов с
положительными членами.
12. Признаки сходимости
знакопеременных рядов. Абсолютная и условная сходимость. Теорема Римана об
условно сходящихся рядах *.
13. Равномерная сходимость
функциональных последовательностей и рядов. Критерий Коши. Признаки
Вейерштрасса, Дирихле- Абеля.
14. Свойства равномерно
сходящихся функциональных последовательностей и рядов. (Непрерывность,
почленное интегрирование и дифференцирование).
15. Сходимость в среднем.
16. Теорема Арцела*.
17. Несобственные интегралы
первого и второго рода. Признаки сходимости. Главное значение несобственного
интеграла.
18. Кратные несобственные
интегралы. Признак сравнения.
19. Собственные интегралы,
зависящие от параметра.
20. Несобственные интегралы
первого и второго рода, зависящие от параметра. Равномерная
сходимость. Признаки равномерной
сходимости.
21. Свойства равномерно
сходящихся несобственных интегралов с параметром (непрерывность, интегрирование
и дифференцирование по параметру*).
22. Интегралы Эйлера.
23. Объемный потенциал.
Непрерывность первых производных объемного потенциала *.
24. Тригонометрический ряд Фурье.
Ортогональность тригонометрической системы. Сходимость тригонометрического ряда
Фурье в точке.
25. Ряды Фурье по произвольной
ортонормированной системе. Неравенство Бесселя.
26. Замкнутые и полные
ортогональные системы. Равенство Парсеваля.
27. Равномерная сходимость
тригонометрического ряда Фурье. Почленное дифференцирование и интегрирование
ряда Фурье.
28. Теоремы Вейерштрасса об
аппроксимации функций тригонометрическими и алгебраическими многочленами.
29. Замкнутость
тригонометрической системы *.
30. Теорема о представлении
функции в виде интеграла Фурье *. Комплексная форма интеграла Фурье.
Преобразования Фурье.
31. Понятие обобщенной функции.
Дельта - функция Дирака.
* Доказательство нужно знать
только для получения отличной оценки
1. Понятие функции комплексного
переменного. Непрерывность. Дифференцируемость. Условия Коши-Римана. Понятие
аналитической функции. Примеры.
2. Интеграл по кривой на
комплексной плоскости и его свойства. Теорема Коши. Неопределенный интеграл.
3. Понятие многолистной и
многозначной функции. Риманова поверхность. Примеры
римановых поверхностей для
функций w = zn , w = еz .
4. Интегральная формула Коши.
Формула среднего значения. Принцип максимального значения модуля аналитической
функции *.
5. Интеграл типа Коши и
возможность его дифференцирования под знаком интеграла *. Бесконечная
дифференцируемость аналитической функции. Теорема Морера. Теорема Лиувилля.
6. Функциональный ряд.
Равномерная сходимость. Почленное интегрирование равномерно сходящегося ряда.
Первая* и вторая теоремы Вейерштрасса о рядах аналитических функций.
7. Степенной ряд. Круг
сходимости, формула для радиуса сходимости. Ряд Тейлора. Теорема о
представлении аналитической функции рядом Тейлора.
8. Единственность аналитической
функции. Понятие аналитического продолжения. Примеры. Распространение на
комплексную плоскость соотношений, справедливых на действительной оси *.
9. Понятие особой точки. Теорема
о наличии особой точки на границе круга сходимости *.
10. Ряд Лорана. Изолированные
особые точки, их классификация. Теорема Сохоцкого – Вейерштрасса о существенно
особой точке.
11. Понятие вычета. Основная
теорема теории вычетов. Применение теории вычетов к вычислению
12. Логарифмический вычет.
Принцип аргумента. Теорема Руше.
13. Геометрический смысл
производной от функции комплексного переменного. Понятие конформного
отображения. Примеры.
14. Дробно-линейная функция и ее
свойства. Функция Жуковского и ее свойства.
15. Преобразование Лапласа и его
свойства. Формула обращения преобразования Лапласа. Теорема Меллина *.
Применение преобразования Лапласа к решению линейных дифференциальных
уравнений.
16. Метод перевала.
* Доказательство нужно знать только для получения отличной
оценки